有关双曲线的公式

有关双曲线的公式

F1（-c,0）、F2（c,0）是双曲线C：

x^2/a^房世过立溶答重经安2-y^2/b^2=1（a〉0,b〉0,c^2=a^2＋b^2）的2焦点

P（x0,y0）为C上的一点，我们称｜斗取沿很品粮哥资字各PF1｜、｜PF2｜为双典线的焦半径，则｜PF1｜=±（a＋ex0固注频）,｜PF2｜=±（ex0-a）,（e=c/a为离心率）．当点在双曲线的右支上时取“＋”．当点在双曲线的左支上时取“-”．

在平面直角坐标系中，二元二次方程h(x,y)更训今留=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。　　

1.读宣该河a,b,c不都是0。　

　2.b^2-4ac>0。　

　在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2-y^简于移我热袁酒2/b^2=1。　扩运轮课奏台司南师比　

双曲线的简单几何性质

1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤360问答-a（焦点在x轴上景固调病）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。　　2、对称性：关于坐标轴和原点对称。　

3、顶点：A(-a,0)，A'(a,0)。同时AA'叫做双曲线的实轴且∣AA'│=2a.　　B(0,-b)，B'(0,b)。同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.　　

4、渐近线：　　　焦点在x轴：y=±(b/a)x.　　焦点在y轴：y=±(a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角　　令1-e女县吸革喜cosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1/e)　　令θ=0，得出ρ=ep/1-e,x=ρcosθ=ep/1细数路胞-e　　令θ=PI践未烈贵七声，得出ρ=ep/1+e,x=ρcosθ=-ep/1+e　　这两个x是双曲线定点的横坐标。　　求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）　　x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2　　（注意化简一下）　　直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2　　是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。　　将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos(1/e)角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’　　则θ’=θ-[PI/2-arccos(1/e)]　　则θ=θ’+[PI/2-arccos(1/e)]　　代入上式：　　ρcos{θ’政握笔+[PI/2-arccos(1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2　　即：ρsin[arccos(1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+动超错煤命成布达希良兰(-ep/1+e)]/2　　现在可以用θ取代式中的θ’了　　得到方程：ρsin[arc取德担属还cos(1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2　　现提夫优证明双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1上的点在渐近线中　　　设M(x,y)是双曲线在第一象限的点，则　　y=(b/a)√(x^2-a^2)(x>a)　　因为x^2-a^2<x^2,所以y=(b/a投销玉减内三结亲放加)√(x^2-a^2)<b/a√x^2=bx/a　　则故因别万动她再城灯井即y<bx/a　　所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方　　根据对称性第二、三、四象限亦如此　　5、离心率：　　第一定义：e=c/a且e∈(1，+∞).　　第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线(相应准线)的距离d的比等于双曲线的离心率e.　　d点│PF│/d线（点P到定直线(相应准线)的距离）=e　　6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）　　左焦半径：r=│ex+a│　　　右焦半径：r=│ex-a│　　7、等轴双曲线　　一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b且e=√2　　这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）　　8、共轭双曲线　　双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。　　几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1S'：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1　　

特点：（1）共渐近线　　（2）焦距相等　　（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1　　9、准线：焦点在x轴上：x=±a^2/c　　焦点在y轴上：y=±a^2/c　　10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）　　d=2b^2/a　　　11、过焦点的弦长公式：　　d=2pe/(1-e^2cos^2θ)　　12、弦长公式：　　d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^2)(y1-y2)^2推导如下：　　由直线的斜率公式：k=(y1-y2)/(x1-x2)　　得y1-y2=k(x1-x2)或x1-x2=(y1-y2)/k　　分别代入两点间的距离公式：|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]　　稍加整理即得：　　|AB|=|x1-x2|√(1+k²)或|AB|=|y1-y2|√(1+1/k²)　　·双曲线的标准公式与反比例函数　　　X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)　　而反比例函数的标准型是xy=c(c≠0)　　但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的　　因为xy=c的对称轴是y=x,y=-x而X^2/a^2-Y^2/b^2=1的对称轴是x轴，y轴　　所以应该旋转45度　　设旋转的角度为a（a≠0,顺时针）　　(a为双曲线渐进线的倾斜角)　　则有　　X=xcosa+ysina　　Y=-xsina+ycosa　　取a=π/4　　则　　X^2-Y^2=(xcos(π/4)+ysin(π/4))^2-(xsin(π/4)-ycos(π/4))^2　　=(√2/2x+√2/2y)^2-(√2/2x-√2/2y)^2　　=4(√2/2x)(√2/2y)　　=2xy.　　而xy=c　　所以　　X^2/(2c)-Y^2/(2c)=1(c>0)　　Y^2/(-2c)-X^2/(-2c)=1(c<0)　　由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.编辑本段·双曲线焦点三角形面积公式

　　若∠F1PF2=θ,　　则S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2)　　·例：已知F1、F2为双曲线C：x^2;-y^;=1的左右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则P到x轴的距离为多　　少？　　解：由双曲线焦点三角形面积公式得S△F1PF2=b^2;·cot（θ/2)=1×cot30°，　　设P到x轴的距离为h，则S△F1PF2=½×F1F2×h=½2√2×h=√3，h=√6/2

·双曲线参数方程

　　双曲线的参数方程:x=asecθ(正割)y=btanθ(a为实半轴长，b为虚半轴长，θ为参数。)